正方体的体对角线垂直吗正方体的体对角线是否垂直

体对角线只有长方体和正方体当中才有的对角线，是6个表面中任意一个面上的任意一个顶点与其对面的不在一个面上的那个点的连线。这条线是穿过正方体的，通常用作辅助线，那正方体的体对角线垂直吗？下面我们一起来了解一下吧。

证明正方体的体对角线是否垂直的方法：过体对角线的一个端点做底面的对角线，该对角线与正方体的一条棱垂直，棱、体对角线、地面对角线构成一个直角三角形，因为底面对角线与棱构成一个直角，所以体对角线不与底面对角线垂直，由线面垂直定理得，直线与平面垂直，则与该面上所有直线垂直，这里与该定理矛盾，所以正方体中体对角线与底面不垂直。还有另一个方法是：建立一个空间直角坐标系，单位长度取成正方体棱长，则可以选取坐标系让正方体顶点坐标全为不是0就是1的整数。之后写出和对角线共线的向量，两个向量做内积(对应坐标相乘再把三个乘积加在一起)发现不为0，就不垂直。